Bước 1 — Toạ độ tiếp điểm $M$. $M$ nằm trên parabol $y = x^2$ và khoảng cách từ $M$ đến trục hoành bằng tung độ $y_M = 2$. Vậy $x_M^2 = 2 \Rightarrow M\bigl(\sqrt{2}; 2\bigr)$.
Bước 2 — Bán kính $R$ và tâm cầu. Tâm cầu $I(0; b)$ trên trục $Oy$. Khoảng cách từ $I$ tới điểm $(t; t^2)$ của parabol đạt cực tiểu (tiếp điểm) khi $\dfrac{d}{dt}\bigl[t^2 + (t^2 - b)^2\bigr] = 0$, tức $t^2 = b - \dfrac{1}{2}$. Do tiếp điểm là $M$ nên $y_M = b - \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$. Khi đó $R = IM = \sqrt{x_M^2 + (x_M^2 - b)^2} = \sqrt{2 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{3}{2}$ (mm).
Bước 3 — Chiều cao $h$. Viên cầu tiếp xúc đáy và nằm gọn trong vỏ; đổ đầy nước đến đỉnh cầu nên $h = b + R = \dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} = 4$ (mm).
Bước 4 — Thể tích vỏ (quay quanh $Oy$). Vì $x^2 = y$ nên $V_{vỏ} = \pi\displaystyle\int_0^{4} x^2\,dy = \pi\int_0^{4} y\,dy = \pi\cdot\dfrac{h^2}{2} = \dfrac{16}{2}\pi$ (mm³).
Kết luận. Trừ thể tích viên cầu $V_{cầu} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{9}{2}\pi$: $V = V_{vỏ} - V_{cầu} = \pi\left(\dfrac{h^2}{2} - \dfrac{4}{3}R^3\right) \approx 11,0\ \text{mm}^3$.