Một kỹ sư cơ khí làm nguội một chi tiết máy sau khi đúc. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường$ tại thời điểm $t = 10$ phút là $40^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 20$ phút, $hiệu nhiệt độ giữa chi tiết máy và môi trường$ giảm xuống còn $10^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
A)
Hàm số $g(t) = kt + C$ ($t \ge 0$), với $C$ là một hằng số xác định.
Đúng
B)
Giá trị $y(0) = 160^\circ\text{C}$ (tức là nhiệt độ chênh lệch ban đầu là $160^\circ\text{C}$).
Đúng
C)
Sau $40$ phút theo dõi, nhiệt độ chênh lệch lớn hơn $5^\circ\text{C}$.
Sai
D)
Giá trị của hằng số $k = -\dfrac{\ln 4}{10}$.
Đúng
LỜI GIẢI
A) Đúng. Từ $y' = k y \Rightarrow \dfrac{y'}{y} = k \Rightarrow \ln y = kt + C_1 \Rightarrow y = e^{kt + C_1}$, đối chiếu $y = e^{g(t)}$ ta được $g(t) = kt + C$ với $C = C_1$.
B) Đúng. $y(0) = e^{0 + C} = e^C = 160$.
C) Sai. $y(40) = 160 \cdot e^{40k} \approx 0.63^\circ\text{C}$. Không lớn hơn 5°C.
D) Đúng. Từ $\dfrac{y(20)}{y(10)} = e^{k(20 - 10)} = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow k(10) = -\ln 4 \Rightarrow k = -\dfrac{\ln 4}{10}$.
59% trả lời đúng
127 đúng · 87 sai