Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 = 25$ và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A_1(7; 8; 5), A_2(8; 7; 5)$. Giả sử mặt cầu $(S)$ được tịnh tiến đi lên (theo hướng dương của trục $Oz$) với phương vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
A)
Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm mặt cầu (trong quá trình tịnh tiến) đến đường $d$ bằng $8.49$.
Đúng
B)
Khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S)$ ở vị trí ban đầu đến đường thẳng $d$ bằng $6\sqrt{2}$.
Đúng
C)
Bán kính của mặt cầu $(S)$ bằng $25$.
Sai
D)
Có một thời điểm trong quá trình tịnh tiến, mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$.
Sai
LỜI GIẢI
A) Đúng. $h^2(s)$ là parabol theo $s$, min tại $s = 0.00$, $h_{\min} = \sqrt{72} \approx 8.4853$.
B) Đúng. $\vec{AI} = (-6; -6; 0)$, $\vec{u} = (1; -1; 0)$, $\vec{AI} \times \vec{u} = (0; 0; 12)$. $d(I, d) = \dfrac{|\vec{AI} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|} = \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{2}} = \sqrt{72} \approx 8.4853$.
C) Sai. Sai — phương trình mặt cầu $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 = 25$ có bán kính $R = \sqrt{25} = 5$ (không phải $25$).
D) Sai. Khoảng cách bình phương từ $I'(s)$ đến $d$ là $h^2(s) = \dfrac{2 s^2 + 0 s + 144}{2}$. Tiếp xúc ⇔ $h^2(s) = R^2 = 25$ ⇔ $2 s^2 + 0 s + 94 = 0$. Discriminant $= -752$ $< 0$ (hoặc $s < 0$) → KHÔNG tiếp xúc.
72% trả lời đúng
219 đúng · 86 sai