A) Sai. Đáp án chính thức: Sai. Sơ đồ dấu của $f'$: hàm nghịch biến trên $(-\infty; 0)$, đồng biến trên $(0; 1)$ và $(1; 2)$, rồi nghịch biến trên $(2; +\infty)$ (gián đoạn tại tiệm cận đứng $x = 1$). Khẳng định mô tả thiếu khoảng đồng biến $(0; 2)$ nên bị tính là Sai.
B) Đúng. Đúng. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Khi qua $x = 0$, $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đây là điểm cực tiểu (giá trị cực tiểu $y = 2$).
C) Sai. Sai. Trên $\left[\dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}\right]$, so sánh các giá trị tại mút và điểm cực trị: $f(\dfrac{3}{2}) = -7$, $f(\dfrac{7}{2}) = - \dfrac{39}{5}$, $f(2) = -6$ (cực đại). Vậy $\min = - \dfrac{39}{5}$, không phải $-7$ ($-7$ chỉ là giá trị tại mút trái).
D) Đúng. Đúng. Hai điểm cực trị $A(0; 2)$, $B(2; -6)$. Theo tính chất đường phân giác trong: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{MA}{MB}$, nên $D = \dfrac{MB\cdot A + MA\cdot B}{MA + MB} = (\dfrac{1}{2}; 0)$. Suy ra $a + b = \dfrac{1}{2} + 0 = \dfrac{1}{2}$.