A) Đúng. $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 20}{x + 1} = x - \dfrac{20}{x + 1}$ có tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận xiên $y = x$. Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: $x = -1$, $y = x = -1$, tức $I(-1; -1)$.
B) Sai. Sai — $f'(x) = 1 + \dfrac{20}{(x+1)^2} = 21 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$. Tiếp tuyến tại $x = -2$ chính là $d: y = 21x + 60$ (TRÙNG $d$, không phải song song). Vậy chỉ có ĐÚNG MỘT tiếp tuyến song song với $d$, đó là $\,y = 21x - 20\,$ (tại $x = 0$).
C) Đúng. $y = \dfrac{x^2 + x - 20}{x + 1} - x = -\dfrac{20}{x + 1}$, nên $V(m) = \pi\displaystyle\int_0^m \dfrac{400}{(x+1)^2}\,dx = \pi\cdot400\!\left(1 - \dfrac{1}{m+1}\right)$. Cho $m \to +\infty$: $V \to 400 \pi$.
D) Sai. Sai — đường thẳng $y = t$ cắt $(C)$ tại hai điểm thuộc hai nhánh có hoành độ là nghiệm của $x^2 + (1 - t)x - (20 + t) = 0$, nên $AB^2 = (x_1 - x_2)^2 = (t+1)^2 + 80 \ge 80$. Vậy $AB_{\min} = 4 \sqrt{5}$ (đạt khi $t = -1$), không phải $2 \sqrt{19}$.