Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị đo trên các trục là mét), một robot tự hành dưới biển xuất phát từ điểm $A(2; 1; 1)$. Robot tự hành dưới biển di chuyển theo một quỹ đạo là đường thẳng với hướng luôn được xác định bởi vectơ $\vec{u} = (1; 2; 2)$. Biết tốc độ di chuyển tại thời điểm $t$ (giây) kể từ lúc xuất phát được mô phỏng bởi hàm số $v(t) = 2t + 4$ (m/s). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
A)
Mặt phẳng đi qua điểm xuất phát $A(2; 1; 1)$ và vuông góc với quỹ đạo chuyển động có phương trình $x + 2y + 2z - 6 = 0$.
Đúng
B)
Vận tốc của robot tự hành dưới biển tại thời điểm $t = 0$ bằng $0$.
Sai
C)
Phương trình chính tắc của đường thẳng mô tả quỹ đạo chuyển động là $\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ (nếu mẫu $\ne 0$).
Sai
D)
Giả sử vùng cảnh báo của một trạm quan sát là khối cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 18x - 30y - 14z + 306 \le 0$. Tại thời điểm $t = 3$ giây, robot tự hành dưới biển vẫn nằm ngoài vùng cảnh báo này.
Đúng
LỜI GIẢI
A) Đúng. Mặt phẳng nhận $\vec{u} = (1; 2; 2)$ làm vectơ pháp tuyến: $1(x - 2) + 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 6 = 0$.
B) Sai. Sai — $v(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4 \ne 0$ (m/s).
C) Sai. Sai — đã đảo nhầm toạ độ điểm và vectơ chỉ phương. Phương trình đúng: $\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 1}{2}$.
D) Đúng. Tại $t = 3$: $\vec{AM} = \dfrac{S}{|\vec{u}|} \vec{u} = \dfrac{21}{3} (1; 2; 2) = (7, 14, 14)$. Suy ra $M = A + \vec{AM} = (9; 15; 15)$. Tâm cầu $I(9; 15; 7)$, bán kính $7$. $IM = \sqrt{64} = 8$ $> R = 7$ → ngoài cầu.
61% trả lời đúng
104 đúng · 66 sai