Một thùng ủ rượu vang bằng gỗ sồi có dạng là một khối tròn xoay. Nếu cắt thùng bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng của thùng thì đường viền ngoài của thiết diện là một phần của đường parabol. Biết thùng có chiều dài $8$ dm, đường kính hai mặt đáy bằng nhau và bằng $6$ dm, phần phình to nhất ở giữa thùng có đường kính bằng $8$ dm. Hãy tính dung tích của thùng ủ rượu này (đơn vị: lít, làm tròn đến hàng đơn vị; biết $1$ lít $= 1$ dm³ và bỏ qua độ dày của vỏ gỗ).
ĐÁP ÁN
3
4
0
LỜI GIẢI
Gắn hệ trục $Oxy$ với $Ox$ trùng trục đối xứng, $O$ giữa thùng. Thân thùng trải từ $x = -4$ đến $x = 4$. Bán kính phình to nhất tại $x = 0$ là $4$ dm; bán kính ở đáy ($x = \pm 4$) là $3$ dm.
Parabol có dạng $y = a x^2 + 4$ (đỉnh $(0; 4)$). Qua điểm $(4; 3)$: $3 = a \cdot 4^2 + 4 \Rightarrow a = \dfrac{3 - 4}{16} = -0,0625$.
Dung tích thùng (thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$): $V = \pi \displaystyle\int_{-4}^{4}\!\!\!\left(a x^2 + 4\right)^2 dx = 2\pi \displaystyle\int_0^{4}\!\!\left(a^2 x^4 + 2 a \cdot 4 x^2 + 16\right) dx$.
$= 2\pi \left[\dfrac{a^2 x^5}{5} + \dfrac{2 a \cdot 4 x^3}{3} + 16 x\right]_0^{4} = 2\pi \cdot 812/15$.
Với $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 340$ (dm³ $=$ lít).
64% trả lời đúng
399 đúng · 224 sai