Bước 1 — Đặt phương trình chính tắc và dùng điều kiện tiêu cự.
Elip có dạng $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 > b^2 > 0$ và $c^2 = a^2 - b^2$ (tâm sai trên trục $Ox$).
Tiêu cự bằng $10$ nên $2c = 10 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow c^2 = 25$, suy ra $b^2 = a^2 - 25$.
Bước 2 — Thay điểm $M$ vào phương trình.
$M(4; -3) \in (E)$: $\dfrac{16}{a^2} + \dfrac{9}{a^2 - 25} = 1$.
Bước 3 — Đưa về phương trình bậc hai ẩn $t = a^2$.
Quy đồng và rút gọn:
$t^2 - 50\,t + 400 = 0$.
Giải ra $t = 40$ hoặc $t = 10$.
Bước 4 — Loại nghiệm không thoả $a^2 > b^2 > 0$.
• Với $t = a^2 = 40$: $b^2 = 40 - 25 = 15 > 0$ và $40 > 15$ ✓.
• Nghiệm $t = 10$ cho $b^2 = -15$ (âm — loại).
Vậy $a^2 = 40,\ b^2 = 15$.
Kết luận: $(E): \dfrac{x^2}{40} + \dfrac{y^2}{15} = 1$.