Cho $x, y > 0$ thoả $x + y = 32$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \log_2 x + \log_2 y$.
A
$\max = 5$
B
$\max = 6$
C
$\max = 9$
D
$\max(\log_2 x + \log_2 y) = 8$
✓
LỜI GIẢI
Bước 1 — Gộp logarit thành tích.
$P = \log_2 x + \log_2 y = \log_2(xy)$.
Vì hàm $\log_2$ đồng biến: cần max $xy$ ⇒ max $P$.
Bước 2 — Áp dụng BĐT AM-GM cho $x + y$:
$xy \leq \left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{32}{2}\right)^2 = 256$.
Dấu '=' xảy ra khi $x = y = 16$.
Bước 3 — Lấy $\log_2$:
$\max P = \log_2(xy)_{\max} = \log_2 256 = 8$.
Kết luận: $\max P = 8$ khi $x = y = 16$.
67% trả lời đúng
417 đúng · 201 sai