Bước 1 — Nguyên tắc tìm GTLN/GTNN của biểu thức bậc nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (nếu bị chặn) là một đa giác lồi. Biểu thức bậc nhất $F = px + qy$ đạt giá trị lớn nhất (và nhỏ nhất) tại MỘT ĐỈNH của đa giác. Vì vậy chỉ cần: tìm các đỉnh → tính $F$ tại từng đỉnh → chọn giá trị lớn nhất.
Bước 2 — Xác định miền nghiệm và các đỉnh.
Bốn đường biên: $x = 0$, $y = 0$, $x = 4$ và $x + 2y = 12$ giới hạn một tứ giác.
• Giao $x = 0$ và $y = 0$: đỉnh $(0; 0)$.
• Giao $y = 0$ và $x = 4$: đỉnh $(4; 0)$.
• Giao $x = 4$ và $x + 2y = 12$: thay $x = 4$ ⇒ $1\cdot4 + 2y = 12$ ⇒ $y = 4$, đỉnh $(4; 4)$.
• Giao $x = 0$ và $x + 2y = 12$: $y = 6$, đỉnh $(0; 6)$.
Các đỉnh: $(0; 0),\ (4; 0),\ (4; 4),\ (0; 6)$.
Bước 3 — Tính $F = 5x + 3y$ tại từng đỉnh:
$F(0; 0) = 5\cdot0 + 3\cdot0 = 0,\ F(4; 0) = 5\cdot4 + 3\cdot0 = 20,\ F(4; 4) = 5\cdot4 + 3\cdot4 = 32,\ F(0; 6) = 5\cdot0 + 3\cdot6 = 18$.
Bước 4 — So sánh. Giá trị lớn nhất trong các kết quả trên là $32$, đạt tại đỉnh $(4; 4)$.
Kết luận: $F_{\max} = 32$ tại $(4; 4)$.