Bước 1 — Đạo hàm hàm hợp.
$g(x) = f(x^2 - 2x) \Rightarrow g'(x) = (x^2 - 2x)' \cdot f'(x^2 - 2x) = (2x - 2)\,f'(x^2 - 2x).$
Bước 2 — Dấu của thừa số $2x - 2$.
$2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$; $2x - 2 < 0$ khi $x < 1$, $2x - 2 > 0$ khi $x > 1$.
Bước 3 — Dấu của $f'(u)$ với $u = x^2 - 2x$ và giải các mốc.
$f'(u) > 0 \Leftrightarrow u < 0$ hoặc $u > 8$; $f'(u) < 0 \Leftrightarrow 0 < u < 8$.
• $u = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
• $u = 8 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = -2$ hoặc $x = 4$.
Lưu ý $u_{\min} = -1$ tại $x = 1$ nên với $x \in (0; 2)$ thì $u \in (-1; 0)$, tức $u < 0$.
Bước 4 — Bảng dấu KÉP tích $g'(x) = (2x - 2)\,f'(u)$ trên 6 khoảng.
Các mốc: $-2 < 0 < 1 < 2 < 4$.
• $x < -2$: $u > 8 \Rightarrow f'(u) > 0$; $2x - 2 < 0$ ⇒ $g' < 0$ (nghịch).
• $-2 < x < 0$: $0 < u < 8 \Rightarrow f'(u) < 0$; $2x - 2 < 0$ ⇒ $g' > 0$ (đồng).
• $0 < x < 1$: $u < 0 \Rightarrow f'(u) > 0$; $2x - 2 < 0$ ⇒ $g' < 0$ (nghịch).
• $1 < x < 2$: $u < 0 \Rightarrow f'(u) > 0$; $2x - 2 > 0$ ⇒ $g' > 0$ (đồng).
• $2 < x < 4$: $0 < u < 8 \Rightarrow f'(u) < 0$; $2x - 2 > 0$ ⇒ $g' < 0$ (nghịch).
• $x > 4$: $u > 8 \Rightarrow f'(u) > 0$; $2x - 2 > 0$ ⇒ $g' > 0$ (đồng).
Kết luận: $g$ đồng biến trên $(-2; 0) \cup (1; 2) \cup (4; +\infty)$. Một khoảng thỏa mãn (đáp án) là $(1; 2)$.