Nguyên hàm và tích phân

Cho hàm số $f(x) = 4x^{4}$.

Cho $\int_{0}^{3} f(x)\,dx = -5$, $\int_{3}^{8} f(x)\,dx = 4$ và $\int_{0}^{3} g(x)\,dx = -5$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3\left(x + 3\right)\left(3 - x\right)$ và trục hoành.

Tìm $p > 0$ biết $\int_{0}^{p} x\,dx = \dfrac{9}{2}$.

Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ là hình tròn đường kính $f(x) = 2x$. Tính thể tích của vật thể đó.

Cho hai hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $\int f(x)\,dx = -3x^{2} - 4x + C$ và $\int \left(4f(x) + 3g(x)\right)\,dx = -3x^{3} - 12x^{2} - 25x + C$. Khi đó $\int g(x)\,dx$ bằng:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^{2} + 2x + 1$ và đường thẳng $y = 4$.

Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = 4t - 4$ (m/s), trong đó $t$ tính bằng giây.

Cho hàm số $f(x) = 2x$ và hình phẳng $(D)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 3$.

Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = 3$. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ là hình tròn đường kính $f(x) = \sqrt{2x + 4}$. Thể tích của vật thể đó bằng $V = k\pi$. Tính $k$.

Cho $f(x) = x^{3}$. Tính $\int_{0}^{1} [f\'(x)]^2\,dx$.

Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t - 1$ (m/s), trong đó $t$ tính bằng giây. Tính quãng đường (mét) chất điểm đi được trong $3$ giây đầu tiên.

Một chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t - 2$ (m/s), trong đó $t$ tính bằng giây. Tính quãng đường chất điểm đi được trong $6$ giây đầu tiên.

Cho $f(x) = x^{2}$. Tính $\int_{0}^{3} [f\'(x)]^2\,dx$.

Cho $f(x) = x^{4}$.

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4\left(x + 1\right)\left(5 - x\right)$ và trục hoành.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3\left(x - 2\right)\left(6 - x\right)$ và trục hoành.

Một thiết bị ghi tốc độ nạp ghi sổ các tích phân của hàm $f\left(x\right)$ (tốc độ nạp khoang $A$) trên những đoạn có chung đầu mút, với các mốc $x_{0} = 1$, $x_{1} = 3$, $x_{2} = 6$, $x_{3} = 7$, $x_{4} = 11$. Một vài bản ghi được ghi theo **cận đảo**, một vài bản ghi khác chỉ ghi tích phân của một **tổ hợp** $f\left(x\right)$ với $g\left(x\right)$ (tốc độ nạp khoang $B$) — khi đó tích phân của $g\left(x\right)$ trên **đúng cặp cận ấy** được ghi kèm.
<table><tr><th>Bản ghi</th><th>Nội dung</th><th>Số đã ghi</th><th>Dữ liệu kèm</th></tr><tr><td>$(1)$</td><td>$\int_{1}^{3} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x$</td><td>$-11$</td><td>—</td></tr><tr><td>$(2)$</td><td>$\int_{7}^{1} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x$</td><td>$7$</td><td>—</td></tr><tr><td>$(3)$</td><td>$\int_{11}^{1} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x$</td><td>$12$</td><td>—</td></tr><tr><td>$(4)$</td><td>$\int_{3}^{6} \left(2f\left(x\right) + 3g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x$</td><td>$-17$</td><td>$\int_{3}^{6} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = -7$</td></tr><tr><td>$(5)$</td><td>$\int_{3}^{7} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x$</td><td>$1$</td><td>—</td></tr><tr><td>$(6)$</td><td>$\int_{3}^{11} \left(4f\left(x\right) + g\left(x\right)\right)\,\mathrm{d}x$</td><td>$-7$</td><td>$\int_{3}^{11} g\left(x\right)\,\mathrm{d}x = 9$</td></tr><tr><td>$(7)$</td><td>$\int_{6}^{11} f\left(x\right)\,\mathrm{d}x$</td><td>$-6$</td><td>—</td></tr></table>
Biết **đúng một** bản ghi bị ghi sai số (mọi cận và mọi hệ số đều đúng), và các bản ghi còn lại đều chính xác. Hàm $f\left(x\right)$ không được cho tường minh.
Xét các khẳng định sau.

Một trạm sạc pin công nghiệp có công suất sạc thay đổi theo thời gian $t$ (giờ) như sau: từ lúc $t = 0$, công suất sạc **tăng đều** theo $r\left(t\right) = 36 + 3t$ ($\text{kW}$); từ một thời điểm chuyển $\tau$ trở đi, công suất sạc **giảm đều** với tốc độ giảm $2$ $\text{kW}$ mỗi giờ, và không có bước nhảy tại $\tau$.
Quá trình kéo dài tới $T = 17$ giờ. Thời điểm chuyển $\tau$ là một số **nguyên** thoả $3 \le \tau \le 14$, nhưng bản ghi đã mất.
Hai đồng hồ tích luỹ đặt độc lập, mỗi cái cộng dồn trên một cửa sổ thời gian riêng (hai cửa sổ **chồng lấn** nhau), và báo:
<table><tr><th>Cửa sổ</th><th>Tổng đã ghi</th></tr><tr><td>$\left[0; 15\right]$</td><td>$800$ $\text{kWh}$</td></tr><tr><td>$\left[5; 17\right]$</td><td>$650$ $\text{kWh}$</td></tr></table>
Cả hai số đều **đã làm tròn** đến bội gần nhất của $50$ $\text{kWh}$.
Tìm thời điểm chuyển $\tau$ (theo giờ).

Một bể chứa nước thô nhận nước từ tuyến bơm cấp. Trong ca làm việc $0 \le t \le 17$ (giờ), cảm biến ghi lưu lượng vào $q_v\left(t\right)$ ($\text{m}^3/\text{giờ}$) bằng hai công thức:
$q_v\left(t\right) = 11t + 68$ khi $0 \le t \le 5$, và $q_v\left(t\right) = 3t - 9$ khi $8 \le t \le 17$.
Trong khoảng $5 < t < 8$ cảm biến **mất dữ liệu**. Quy ước vận hành: lấy **nội suy tuyến tính** giữa hai số đọc tốt ở hai đầu khoảng trống, tức giữa $q_v\left(5\right) = 123$ và $q_v\left(8\right) = 15$.
Lịch xả có hai giai đoạn: $q_x\left(t\right) = 48$ $\text{m}^3/\text{giờ}$ khi $0 \le t \le 11$, và $q_x\left(t\right) = 17$ $\text{m}^3/\text{giờ}$ khi $11 < t \le 17$.
<table><tr><th>Khoảng</th><th>$q_v\left(t\right)$</th><th>$q_x\left(t\right)$</th></tr><tr><td>$\left[0; 5\right]$</td><td>$11t + 68$</td><td>$48$</td></tr><tr><td>$\left(5; 8\right)$</td><td>nội suy tuyến tính</td><td>$48$</td></tr><tr><td>$\left[8; 11\right]$</td><td>$3t - 9$</td><td>$48$</td></tr><tr><td>$\left(11; 17\right]$</td><td>$3t - 9$</td><td>$17$</td></tr></table>
Đầu ca bể chứa $V_0 = 2900$ $\text{m}^3$; mức chứa phải **không vượt** ngưỡng an toàn $V_{\text{at}} = 3011$ $\text{m}^3$ trong suốt ca. Chỉ được xả bớt **một lần duy nhất ngay trước** $t = 0$, và lượng xả phải là **bội** của $100$ $\text{m}^3$; sau đó bể chạy đúng lịch xả trên, không can thiệp thêm.
Hỏi lượng xả nhỏ nhất (bội của $100$) phải xả ngay trước $t = 0$ là bao nhiêu $\text{m}^3$?