Biết số phức $z = 2 + 3i$ là một nghiệm của một phương trình bậc hai hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Phương trình đó là phương trình nào?
A
$x^2 - 4x + 13 = 0$
✓
B
$x^2 - 4x - 5 = 0$
C
$x^2 + 4x + 13 = 0$
D
$x^2 - 4x - 13 = 0$
LỜI GIẢI
Bước 1 — Nghiệm liên hợp.
Phương trình bậc hai có hệ số THỰC: nếu nhận nghiệm phức $z = p + qi$ ($q \neq 0$) thì BẮT BUỘC nhận thêm nghiệm liên hợp $\bar z = p - qi$.
Ở đây $p = 2$, $q = 3$ ⇒ hai nghiệm $x_1 = 2 + 3i$, $x_2 = 2 - 3i$.
Bước 2 — Vi-ét ngược (lập tổng và tích nghiệm).
$x_1 + x_2 = 2p = 4$ ⇒ hệ số $b = -(x_1 + x_2) = -4$.
$x_1 \cdot x_2 = (p + qi)(p - qi) = p^2 + q^2 = 4 + 9 = 13$ ⇒ hệ số tự do $c = 13$.
Bước 3 — Viết phương trình.
PT monic có dạng $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$, tức $x^2 - 4x + 13 = 0$.
Bước 4 — Kiểm tra biệt thức.
$\Delta = b^2 - 4c = (-4)^2 - 4 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 = -4q^2 < 0$, khớp với việc phương trình có nghiệm phức (không có nghiệm thực).
Kết luận: $x^2 - 4x + 13 = 0$.
79% trả lời đúng
684 đúng · 178 sai