Lát cắt thẳng đứng của một quả đồi và hồ nước phía sau có dạng đồ thị hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (đơn vị trục hoành: km, trục tung: m) như hình vẽ. Chân đồi đặt tại gốc $O$, mặt nước ở phía chân đồi tại $A$ với $OA = 3$ km; đỉnh đồi (điểm cao nhất) có hoành độ $x = 1,3$ km; chỗ sâu nhất của hồ cách mặt đất ngang qua $O$ khoảng $333$ m về phía dưới. Hỏi đỉnh đồi cao bao nhiêu mét (so với mặt đất ngang qua $O$)?
ĐÁP ÁN
2
6
4
LỜI GIẢI
Bước 1 — Dạng hàm và các điều kiện.
Gọi $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Từ hình:
• $f(0) = 0 \Rightarrow d = 0$.
• Mặt nước phía chân đồi tại $A$: $f(3) = 0$.
• Đỉnh đồi là cực đại tại $x = 1,3$: $f'(1,3) = 0$.
Như vậy $f(x) = a\,x(x - x_1)(x - x_3)$ với một hệ số tỉ lệ $a$ chưa biết.
Bước 2 — Dùng độ sâu của hồ để tìm $a$.
Giải $f'(x) = 0$ cho hoành độ đáy hồ $x_{CT} \approx 5$ km. Vì độ sâu (giá trị tuyệt đối của cực tiểu) bằng $333$ m, ta suy ra hệ số:
$$a = 23.29,\quad b = -219.6,\quad c = 449.2.$$
Bước 3 — Tính độ cao đỉnh đồi (cực đại).
Thay $x = 1,3$ vào $f$:
$$y_{CĐ} = f(1,3) = 264\ \text{m}.$$
Kết luận: Đỉnh đồi cao $264$ m.
65% trả lời đúng
248 đúng · 132 sai