Trang chủ/ Toán/ Lớp 12/ Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính
12Toán 12 Trả lời ngắn Vận dụng cao 123

Một quỹ duy tu cầu đường phải mua **cùng một giỏ duy tu** vào cuối mỗi năm trong 44 năm tới. Theo giá hiện nay, giỏ duy tu ấy tốn 190190 triệu đồng; giá của nó tăng đúng theo lạm phát hằng năm. Số dư quỹ được cộng lãi theo một dãy khác:
<table><tr><th>Năm</th><th>11</th><th>22</th><th>33</th><th>44</th></tr><tr><td>Lạm phát iti_t</td><td>7,7%7{,}7\%</td><td>6%6\%</td><td>5,6%5{,}6\%</td><td>2,1%2{,}1\%</td></tr><tr><td>Lãi quỹ rtr_t</td><td>3,5%3{,}5\%</td><td>7,4%7{,}4\%</td><td>4,2%4{,}2\%</td><td>3,5%3{,}5\%</td></tr></table>
Trong mỗi năm, thứ tự sự kiện là: **cộng lãi cả năm trước**, rồi mới trừ các khoản chi cuối năm. Riêng cuối năm 33 quỹ còn phải trả thêm một khoản phí cố định 5555 triệu đồng (trả cùng lúc, ngay trước khi mua giỏ duy tu).
Cuối năm 44, sau khi đã mua giỏ duy tu của năm ấy, quỹ phải còn một khoản dự phòng **tương đương 150150 triệu đồng theo giá hiện nay**.
Quỹ hiện có 870,61870{,}61 triệu đồng. Khoản nộp bổ sung chỉ được thực hiện theo **bội của 55 triệu đồng**.
Hỏi quỹ phải nộp bổ sung ít nhất bao nhiêu triệu đồng để chắc chắn đạt mục tiêu?

Câu hỏi có hữu ích?

Lời giải

Đáp án
1 2 0
Các bước giải
1
**Chi phí danh nghĩa dựng từ tích lạm phát.** Giữ nguyên sức mua nghĩa là cuối năm tt phải trả Et=190∏j≤t(1+ij)E_t = 190\prod_{j \le t}\left(1 + i_j\right), **không** phải nhân với một tỉ lệ trung bình. Khoản dự phòng cũng cho theo giá hiện nay nên phải chỉ số hoá đủ 44 thừa số: R=150∏j≤4(1+ij)=184,63R = 150\prod_{j \le 4}\left(1 + i_j\right) = 184{,}63 triệu đồng.
2
**Giải ngược theo đúng thứ tự sự kiện.** Trong năm tt: Bt=Bt−1(1+rt)−ft−EtB_t = B_{t-1}\left(1 + r_t\right) - f_t - E_t, nên Bt−1=Bt+ft+Et1+rtB_{t-1} = \dfrac{B_t + f_t + E_t}{1 + r_t}. Bắt đầu từ B4=184,63B_{4} = 184{,}63 và chạy ngược:
3
<table><tr><th>Năm tt</th><th>EtE_t</th><th>Phí ftf_t</th><th>BtB_t</th><th>Bt−1B_{t-1}</th></tr><tr><td>44</td><td>233,86233{,}86</td><td>00</td><td>184,63184{,}63</td><td>404,34404{,}34</td></tr><tr><td>33</td><td>229,05229{,}05</td><td>5555</td><td>404,34404{,}34</td><td>660,65660{,}65</td></tr><tr><td>22</td><td>216,91216{,}91</td><td>00</td><td>660,65660{,}65</td><td>817,09817{,}09</td></tr><tr><td>11</td><td>204,63204{,}63</td><td>00</td><td>817,09817{,}09</td><td>987,17987{,}17</td></tr></table>
4
Vậy vốn đầu kì tối thiểu là B0≈987,17B_0 \approx 987{,}17 triệu đồng.
5
**Khoản nộp: làm tròn lên, không phải làm tròn gần nhất.** Quỹ đang thiếu 987,17−870,61≈116,56987{,}17 - 870{,}61 \approx 116{,}56 triệu đồng. Bước tiền là 55 triệu đồng, và 116,56116{,}56 **không** phải bội của 55, nên phải nộp bội **ngay trên**: ⌈116,565⌉⋅5=120\left\lceil \dfrac{116{,}56}{5} \right\rceil \cdot 5 = 120 triệu đồng.
6
Nếu làm tròn gần nhất thì ra 115115 triệu đồng — mô phỏng tiến với số ấy cho số dư cuối năm 44 nhỏ hơn dự phòng cần có, tức **thiếu tiền**. Với 120120 triệu đồng thì số dư cuối năm 44 là 188,75188{,}75 triệu đồng, đạt mức 184,63184{,}63 triệu đồng.
7
**Vì sao không được gộp thành tỉ lệ trung bình.** Thay hai dãy bằng hai tỉ lệ trung bình cộng rồi làm y hệt thì khoản nộp ra 105105 triệu đồng — khác hẳn. Lí do là trung bình của một tích không bằng tích của các trung bình.
Lời giải có hữu ích?
Xem dạng tự luận của câu này

Một quỹ duy tu cầu đường phải mua **cùng một giỏ duy tu** vào cuối mỗi năm trong 44 năm tới. Theo giá hiện nay, giỏ duy tu ấy tốn 190190 triệu đồng; giá của nó tăng đúng theo lạm phát hằng năm. Số dư quỹ được cộng lãi theo một dãy khác:
<table><tr><th>Năm</th><th>11</th><th>22</th><th>33</th><th>44</th></tr><tr><td>Lạm phát iti_t</td><td>7,7%7{,}7\%</td><td>6%6\%</td><td>5,6%5{,}6\%</td><td>2,1%2{,}1\%</td></tr><tr><td>Lãi quỹ rtr_t</td><td>3,5%3{,}5\%</td><td>7,4%7{,}4\%</td><td>4,2%4{,}2\%</td><td>3,5%3{,}5\%</td></tr></table>
Trong mỗi năm, thứ tự sự kiện là: **cộng lãi cả năm trước**, rồi mới trừ các khoản chi cuối năm. Riêng cuối năm 33 quỹ còn phải trả thêm một khoản phí cố định 5555 triệu đồng (trả cùng lúc, ngay trước khi mua giỏ duy tu).
Cuối năm 44, sau khi đã mua giỏ duy tu của năm ấy, quỹ phải còn một khoản dự phòng **tương đương 150150 triệu đồng theo giá hiện nay**.
Quỹ hiện có 870,61870{,}61 triệu đồng. Khoản nộp bổ sung chỉ được thực hiện theo **bội của 55 triệu đồng**.
Tính vốn đầu kì tối thiểu, rồi cho biết khoản nộp bổ sung nhỏ nhất theo bước tiền. Kiểm lại bằng cách mô phỏng tiến, và giải thích vì sao bội ngay trước đó không đủ.

Đáp án 120 triệu đoˆˋng120\ \text{triệu đồng}

Câu hỏi cùng chủ đề

TN
Lạm phát 20%20\% một năm. So với hiện tại, giá cả sau một năm
Trắc nghiệm Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính Nhận biết 11 971
TLN
Với lạm phát 20%20\% một năm, 4848 triệu đồng năm sau có sức mua tương đương bao nhiêu triệu đồng hiện tại?
Trả lời ngắn Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính Nhận biết 5 654
TN
Với lạm phát 20%20\% một năm, 132132 triệu đồng năm sau có sức mua tương đương bao nhiêu triệu đồng hiện tại?
Trắc nghiệm Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính Thông hiểu 3 410
ĐS
Lạm phát 10%10\% một năm. Một món hàng hiện giá 8080 triệu đồng.
Đúng – Sai Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính Thông hiểu 18 2090
TLN
Một món hàng hiện giá 100100 triệu đồng. Với lạm phát 10%10\% một năm, tính giá món hàng sau 22 năm, đơn vị triệu đồng.
Trả lời ngắn Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính Thông hiểu 9 578
TN
Một món hàng hiện giá 2020 triệu đồng. Với lạm phát 10%10\% một năm, sau 22 năm giá tăng thêm bao nhiêu triệu đồng?
Trắc nghiệm Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính Vận dụng 15 1336