11Toán 11 Trả lời ngắn Vận dụng cao 385

Một phao đo sóng cho độ cao dao động điều hoà theo thời gian:
x(t)=Acos⁡(2πtT+φ)x\left(t\right) = A\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T} + \varphi\right), với A=22 cmA = 22\ \text{cm} và chu kì T=36T = 36 giây.
Pha ban đầu φ\varphi **chưa biết**. Hai phép đo chính xác (không rơi vào biên) như sau:
<table><tr><th>Phép đo</th><th>Thời điểm</th><th>Giá trị đọc được</th></tr><tr><td>lần 11</td><td>t1=18t_1 = 18 s</td><td>11 cm11\ \text{cm}</td></tr><tr><td>lần 22</td><td>t2=12t_2 = 12 s</td><td>−11 cm-11\ \text{cm}</td></tr></table>
Bộ báo động kêu khi độ cao **vượt** ngưỡng L=−11 cmL = -11\ \text{cm}. Ca theo dõi kéo dài H=90H = 90 giây, tính từ t=0t = 0.
Hỏi trong cả ca theo dõi, tổng thời gian bộ báo động kêu là bao nhiêu giây?

Câu hỏi có hữu ích?

Lời giải

Đáp án
5 4
Các bước giải
1
**Khôi phục pha: một phép đo là chưa đủ.** Đặt θ(t)=2πt36+φ\theta\left(t\right) = \dfrac{2\pi t}{36} + \varphi. Phép đo đầu cho cos⁡θ(t1)=1122=12\cos\theta\left(t_1\right) = \dfrac{11}{22} = \dfrac{1}{2}.
2
Vì cos⁡\cos là hàm **chẵn**, phương trình này cho **hai** giá trị θ(t1)\theta\left(t_1\right) đối nhau trong một chu kì, tức hai ứng viên pha: φ=23π\varphi = \dfrac{2}{3}\pi và φ=43π\varphi = \dfrac{4}{3}\pi.
3
Phép đo thứ hai loại một ứng viên: với φ=23π\varphi = \dfrac{2}{3}\pi thì x(t2)=−11 cmx\left(t_2\right) = -11\ \text{cm} — khớp; còn với φ=43π\varphi = \dfrac{4}{3}\pi thì x(t2)=22 cmx\left(t_2\right) = 22\ \text{cm} — không khớp. Vậy φ=23π\varphi = \dfrac{2}{3}\pi.
4
**Bất phương trình lượng giác trên một chu kì.** Điều kiện x(t)>−11x\left(t\right) > -11 tương đương cos⁡θ>−12\cos\theta > -\dfrac{1}{2}, tức θ\theta thuộc cung đối xứng quanh 00 có nửa độ dài β=2π3\beta = \dfrac{2\pi}{3}.
5
Mỗi chu kì vì thế có **đúng một** khoảng vượt ngưỡng, dài βTπ=24\dfrac{\beta T}{\pi} = 24 giây.
6
**Ghép chu kì đầy đủ với phần dư.** Viết H=90=2T+rH = 90 = 2T + r với r=18r = 18 giây. Phần 22 chu kì đóng góp 2⋅24=482 \cdot 24 = 48 giây.
7
Phần dư thì **không** tỉ lệ: nó cắt ngang một khoảng vượt ngưỡng, và cắt ở đâu là do pha quyết định. Dịch pha rồi giao với đoạn dư, phần này đóng góp thêm 66 giây.
8
**Tổng cộng** 5454 giây.
9
Lưu ý lối làm tắt 2β2π⋅H=60\dfrac{2\beta}{2\pi} \cdot H = 60 giây là **sai**: nó coi đoạn theo dõi như gồm nguyên các chu kì, tức bỏ qua cả pha lẫn phần dư.
Lời giải có hữu ích?
Xem dạng tự luận của câu này

Một phao đo sóng cho độ cao dao động điều hoà theo thời gian:
x(t)=Acos⁡(2πtT+φ)x\left(t\right) = A\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T} + \varphi\right), với A=22 cmA = 22\ \text{cm} và chu kì T=36T = 36 giây.
Pha ban đầu φ\varphi **chưa biết**. Hai phép đo chính xác (không rơi vào biên) như sau:
<table><tr><th>Phép đo</th><th>Thời điểm</th><th>Giá trị đọc được</th></tr><tr><td>lần 11</td><td>t1=18t_1 = 18 s</td><td>11 cm11\ \text{cm}</td></tr><tr><td>lần 22</td><td>t2=12t_2 = 12 s</td><td>−11 cm-11\ \text{cm}</td></tr></table>
Bộ báo động kêu khi độ cao **vượt** ngưỡng L=−11 cmL = -11\ \text{cm}. Ca theo dõi kéo dài H=90H = 90 giây, tính từ t=0t = 0.
Khôi phục pha φ\varphi, rồi tính tổng thời gian bộ báo động kêu trong cả ca theo dõi.

Đáp án 54 s54\ \text{s}

Câu hỏi cùng chủ đề

TN
Mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thuỷ triều. Mực nước so với mốc chuẩn, tính bằng m, được mô hình hoá bởi h(t)=6sin⁡(π4t)+17h(t) = 6 \sin\left(\dfrac{\pi}{4} t\right) + 17, trong đó tt là thời gian tính bằng giờ. Biên độ dao động bằng
Trắc nghiệm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Thông hiểu 13 683
TLN
Một vòng đu quay hoạt động đều. Độ cao của một cabin so với mặt đất, tính bằng m, được mô hình hoá bởi h(t)=4sin⁡(π8t)+5h(t) = 4 \sin\left(\dfrac{\pi}{8} t\right) + 5, trong đó tt là thời gian tính bằng giây. Tính biên độ dao động.
Trả lời ngắn Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Thông hiểu 12 1260
TN
Một vòng đu quay hoạt động đều. Độ cao của một cabin so với mặt đất, tính bằng m, được mô hình hoá bởi h(t)=11sin⁡(π4t)+17h(t) = 11 \sin\left(\dfrac{\pi}{4} t\right) + 17, trong đó tt là thời gian tính bằng giây. Giá trị lớn nhất bằng
Trắc nghiệm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Vận dụng 12 1197
ĐS
Nhiệt độ không khí tại một thành phố thay đổi tuần hoàn trong ngày. Nhiệt độ, tính bằng độ C, được mô hình hoá bởi h(t)=9sin⁡(π2t)+17h(t) = 9 \sin\left(\dfrac{\pi}{2} t\right) + 17, trong đó tt là thời gian tính bằng giờ.
Đúng – Sai Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Vận dụng 11 772
TLN
Mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thuỷ triều. Mực nước so với mốc chuẩn, tính bằng m, được mô hình hoá bởi h(t)=11sin⁡(π4t)+15h(t) = 11 \sin\left(\dfrac{\pi}{4} t\right) + 15, trong đó tt là thời gian tính bằng giờ. Tính chu kỳ của dao động.
Trả lời ngắn Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Vận dụng 8 531
TN
Một chiếc guồng nước quay đều. Khoảng cách từ một chiếc gàu tới mặt nước, tính bằng m, được mô hình hoá bởi h(t)=6sin⁡(π12t)+17h(t) = 6 \sin\left(\dfrac{\pi}{12} t\right) + 17, trong đó tt là thời gian tính bằng giây. Thời điểm đầu tiên đạt giá trị lớn nhất là
Trắc nghiệm Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Vận dụng cao 1 140