Trang chủ/ Toán/ Lớp 12/ Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng
12Toán 12 Đúng – Sai Vận dụng cao 300

Một quỹ hỗ trợ mất mùa có hai khoản chi trả trong một kì. Khoản thứ nhất là hỗ trợ mất mùa chính vụ: bằng 1414 triệu đồng nếu xảy ra, bằng 00 nếu không, và xác suất xảy ra là p=0,61p = 0{,}61. Khoản thứ hai là hỗ trợ mất mùa phụ: bằng 1212 triệu đồng nếu xảy ra, bằng 00 nếu không, xác suất q=0,74q = 0{,}74.
Gọi XX, YY lần lượt là số tiền của hai khoản ấy. **Không** biết hai biến cố phụ thuộc nhau thế nào; chỉ biết xác suất **cả hai cùng xảy ra** là r=P(X=14,Y=12)r = P\left(X = 14, Y = 12\right), và một đợt kiểm toán chứng nhận 0,35≤r≤0,520{,}35 \le r \le 0{,}52.
Quỹ thu một khoản phí 9,699{,}69 triệu đồng cho mỗi kì.
Xét các khẳng định sau.

a Kì vọng tổng chi trả E[X+Y]E\left[X + Y\right] **xác định được** dù chưa biết rr, và bằng 17,4217{,}42 triệu đồng. Đúng
b Kì vọng E[max⁡(X;Y)]E\left[\max\left(X; Y\right)\right] **xác định được duy nhất** từ dữ kiện đã cho. Sai
c Dữ kiện đã cho **cho phép** XX và YY độc lập. Đúng
d Với mức phí 9,699{,}69 triệu đồng, quỹ có kì vọng chi trả cho khoản lớn hơn **thấp hơn phí** dù rr nhận giá trị nào trong RR. Đúng
Câu hỏi có hữu ích?

Lời giải

Đáp án
Đ S Đ Đ
Các bước giải
1
a) **Cả bảng đồng thời viết được theo một ẩn rr:**
2
<table><tr><th></th><th>Y=12Y = 12</th><th>Y=0Y = 0</th></tr><tr><td>X=14X = 14</td><td>rr</td><td>0,61−r0{,}61 - r</td></tr><tr><td>X=0X = 0</td><td>0,74−r0{,}74 - r</td><td>−0,35+r-0{,}35 + r</td></tr></table>
3
Bốn ô không âm cho cận Fréchet max⁡(0;p+q−1)=0,35≤r≤min⁡(p;q)=0,61\max\left(0; p + q - 1\right) = 0{,}35 \le r \le \min\left(p; q\right) = 0{,}61; giao với chứng nhận kiểm toán được R=[0,35;0,52]R = \left[0{,}35; 0{,}52\right].
4
Kì vọng **tuyến tính**, nên E[X+Y]=E[X]+E[Y]=14⋅0,61+12⋅0,74=17,42E\left[X + Y\right] = E\left[X\right] + E\left[Y\right] = 14 \cdot 0{,}61 + 12 \cdot 0{,}74 = 17{,}42 triệu đồng — hoàn toàn **không** phụ thuộc rr. Chú ý không được trừ đi phần “giao” như khi tính xác suất của hợp: hợp đồng trả **cả hai** khoản chứ không trả một.
5
b) Vì 14≥1214 \ge 12 nên max⁡(X;Y)\max\left(X; Y\right) bằng 1414 khi X=14X = 14, bằng 1212 khi X=0X = 0 và Y=12Y = 12, bằng 00 nếu không. Vậy E[max⁡]=14p+12(q−r)E\left[\max\right] = 14p + 12\left(q - r\right) — **giảm** theo rr. Hai đầu của RR cho hai đầu của đoạn: 11,1811{,}18 tại r=0,52r = 0{,}52 và 13,2213{,}22 tại r=0,35r = 0{,}35. Không có một giá trị duy nhất.
6
c) Hai biến độc lập khi và chỉ khi r=pq=0,4514r = pq = 0{,}4514. Giá trị ấy **nằm trong** R=[0,35;0,52]R = \left[0{,}35; 0{,}52\right], nên dữ kiện cho phép khả năng độc lập.
7
d) Phải xét **trường hợp xấu nhất**: E[max⁡]E\left[\max\right] **lớn nhất** ở rr **nhỏ nhất**, tức 13,2213{,}22 triệu đồng tại r=0,35r = 0{,}35; còn **nhỏ nhất** ở r=0,52r = 0{,}52, bằng 11,1811{,}18. So với phí 9,699{,}69 triệu đồng: có giá trị rr làm kì vọng vượt phí. Chú ý không được lấy giá trị tại r=pqr = pq rồi kết luận cho **mọi** rr.
Lời giải có hữu ích?
Xem dạng tự luận của câu này

Một quỹ hỗ trợ mất mùa có hai khoản chi trả trong một kì. Khoản thứ nhất là hỗ trợ mất mùa chính vụ: bằng 1414 triệu đồng nếu xảy ra, bằng 00 nếu không, và xác suất xảy ra là p=0,61p = 0{,}61. Khoản thứ hai là hỗ trợ mất mùa phụ: bằng 1212 triệu đồng nếu xảy ra, bằng 00 nếu không, xác suất q=0,74q = 0{,}74.
Gọi XX, YY lần lượt là số tiền của hai khoản ấy. **Không** biết hai biến cố phụ thuộc nhau thế nào; chỉ biết xác suất **cả hai cùng xảy ra** là r=P(X=14,Y=12)r = P\left(X = 14, Y = 12\right), và một đợt kiểm toán chứng nhận 0,35≤r≤0,520{,}35 \le r \le 0{,}52.
Quỹ thu một khoản phí 9,699{,}69 triệu đồng cho mỗi kì.
Viết bảng phân phối đồng thời theo một ẩn, xác định đoạn giá trị của ẩn ấy, rồi trả lời từng câu hỏi dưới đây kèm phép tính.

a) Với mức phí 9,699{,}69 triệu đồng, kì vọng E[max⁡(X;Y)]E\left[\max\left(X; Y\right)\right] có luôn dưới phí không?

b) Dữ kiện đã cho có cho phép XX và YY độc lập không?

c) Kì vọng E[max⁡(X;Y)]E\left[\max\left(X; Y\right)\right] xác định được duy nhất hay chỉ trong một đoạn?

d) Kì vọng tổng chi trả E[X+Y]E\left[X + Y\right] có xác định được không, và bằng bao nhiêu?

Đáp án a) không; b) có; c) chỉ trong đoạn [11,18;13,22]\left[11{,}18; 13{,}22\right]; d) có, 17,4217{,}42 triệu đồng

Câu hỏi cùng chủ đề

TN
Biến ngẫu nhiên rời rạc XX có bảng phân bố xác suất
X137P0,20,20,6\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 3 & 7 \\\hline P & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}6 \\\hline\end{array}
Công thức tính kì vọng của XX là
Trắc nghiệm Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng Nhận biết 18 1507
TN
Biến ngẫu nhiên rời rạc XX có bảng phân bố xác suất
X127P0,30,10,6\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 7 \\\hline P & 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}6 \\\hline\end{array}
Kì vọng E(X)E(X) bằng
Trắc nghiệm Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng Thông hiểu 1 267
ĐS
Biến ngẫu nhiên rời rạc XX có bảng phân bố xác suất
X237P0,10,40,5\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 2 & 3 & 7 \\\hline P & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}5 \\\hline\end{array}
Đúng – Sai Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng Thông hiểu 14 808
TLN
Một khảo sát ghi lại số lần truy cập 0, 3, 5 với xác suất lần lượt 0,2;0,3;0,50{,}2; 0{,}3; 0{,}5. Tính số lần trung bình theo kì vọng.
Trả lời ngắn Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng Thông hiểu 15 1435
TN
Biến ngẫu nhiên rời rạc XX có bảng phân bố xác suất
X259P0,10,30,6\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 2 & 5 & 9 \\\hline P & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}6 \\\hline\end{array}
Đặt Y=2X+5Y = 2X + 5. Kì vọng E(Y)E(Y) bằng
Trắc nghiệm Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng Vận dụng 6 767
TLN
Biến ngẫu nhiên rời rạc XX có bảng phân bố xác suất
X348P0,30,10,6\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 3 & 4 & 8 \\\hline P & 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}6 \\\hline\end{array}
Đặt Y=4X+5Y = 4X + 5. Tính E(Y)E(Y).
Trả lời ngắn Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng Vận dụng 5 416