Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính

Gửi $2$ triệu đồng theo lãi kép $10\%$ một năm trong $4$ năm. Tiền lãi thu được, đơn vị triệu đồng, bằng

Một thẻ tín dụng có dư nợ $20$ triệu đồng và lãi suất $3\%$ một tháng. Nếu giữ nguyên dư nợ trong $4$ tháng thì tổng tiền lãi, đơn vị triệu đồng, bằng

Có $20$ triệu đồng và hai phương án gửi tiết kiệm theo lãi kép: phương án $A$ lãi $20\%$ một kì trong $2$ kì; phương án $B$ lãi $10\%$ một kì trong $2$ kì. Phương án nào cho số tiền cuối kì lớn hơn?

Một món hàng giá $160$ nghìn đồng được giảm $25\%$. Giá mới, đơn vị nghìn đồng, bằng

Gửi một khoản tiền theo lãi kép $10\%$ một kì. Số kì ít nhất để số tiền tăng gấp $3$ lần vốn ban đầu là

Một khoản vay $72$ triệu đồng được trả gốc đều trong $24$ kì, lãi suất $12\%$ một kì tính trên dư nợ đầu kì. Tiền lãi phải trả ở kì đầu tiên, đơn vị triệu đồng, bằng

Gửi $20$ triệu đồng theo lãi kép $20\%$ một kì.

Có $40$ triệu đồng và hai phương án gửi tiết kiệm theo lãi kép: phương án $A$ lãi $10\%$ một kì trong $2$ kì; phương án $B$ lãi $20\%$ một kì trong $2$ kì. Ngoài ra, lãi suất danh nghĩa của thị trường là $13\%$ và lạm phát là $3\%$.

Gửi $6$ triệu đồng theo lãi kép $6\%$ một năm trong $5$ năm. Tính tiền lãi thu được, đơn vị triệu đồng (làm tròn đến hàng phần trăm).

Gửi một khoản tiền theo lãi kép $5\%$ một kì. Tính số kì ít nhất để số tiền tăng gấp $2$ lần vốn ban đầu.

Một món hàng hiện giá $20$ triệu đồng. Với lạm phát $10\%$ một năm, tính số tiền giá tăng thêm sau $2$ năm, đơn vị triệu đồng.

Một thẻ tín dụng có dư nợ $10$ triệu đồng và lãi suất $1\%$ một tháng. Tính tổng tiền lãi sau $6$ tháng giữ nguyên dư nợ, đơn vị triệu đồng.

Gửi $200$ triệu đồng theo lãi đơn $4\%$ một năm trong $5$ năm. Tính tiền lãi, đơn vị triệu đồng.

Một khoản vay $162$ triệu đồng được trả gốc đều trong $18$ kì, lãi suất $6\%$ một kì tính trên dư nợ đầu kì. Tính tiền lãi của kì đầu tiên, đơn vị triệu đồng.

Có $20$ triệu đồng và hai phương án gửi tiết kiệm theo lãi kép: phương án $A$ lãi $10\%$ một kì trong $2$ kì; phương án $B$ lãi $20\%$ một kì trong $2$ kì. Tính chênh lệch số tiền cuối kì giữa hai phương án, đơn vị triệu đồng.

Một món hàng giá $300$ nghìn đồng được giảm $5\%$. Tính giá mới, đơn vị nghìn đồng.

Một khoản vay mua thiết bị có dư nợ gốc đầu kì $1837$ triệu đồng, trả **gốc đều** trong $11$ tháng, mỗi tháng trả phần gốc $\dfrac{1837}{11} = 167$ triệu đồng cùng tiền lãi. Lãi mỗi tháng tính trên **dư nợ đầu tháng**, trước mọi khoản thanh toán:
<table><tr><th>Tháng</th><th>$1$</th><th>$2$</th><th>$3$</th><th>$4$</th><th>$5$</th><th>$6$</th><th>$7$</th><th>$8$</th><th>$9$</th><th>$10$</th><th>$11$</th></tr><tr><td>Lãi suất</td><td>$1{,}24\%$</td><td>$0{,}86\%$</td><td>$1{,}15\%$</td><td>$1{,}41\%$</td><td>$1{,}17\%$</td><td>$1{,}31\%$</td><td>$1{,}49\%$</td><td>$0{,}92\%$</td><td>$0{,}82\%$</td><td>$1{,}18\%$</td><td>$1{,}17\%$</td></tr></table>
Doanh nghiệp được hoãn trả đúng tháng $6$: tháng ấy **không trả gì**, tiền lãi của tháng được **nhập vào dư nợ** cuối tháng. Từ tháng $7$, toàn bộ dư gốc mới được chia **đều** cho $5$ tháng còn lại; lãi vẫn tính trên dư đầu tháng.
Ngân hàng còn chào một **phương án thay thế**: trả ngay một khoản phí $31$ triệu đồng vào tháng $6$ và được **miễn hẳn** tiền lãi tháng ấy (không vốn hoá, cũng không phải trả); tháng $6$ vẫn không trả gốc, và từ tháng $7$ dư gốc cũng được chia đều cho $5$ tháng còn lại.
Mọi số tiền ghi vào sao kê được làm tròn đến hàng phần trăm.
Xét các khẳng định sau.

Một sao kê tài khoản thấu chi có chu kì $28$ ngày, số dư nợ đầu ngày $1$ là $2700$ nghìn đồng. Trong kì, chủ tài khoản phát sinh các giao dịch sau (mua hàng làm dư nợ **tăng**, hoàn tiền làm dư nợ **giảm**, ngay từ ngày hạch toán):
<table><tr><th>Ngày hạch toán</th><th>Nội dung</th><th>Số tiền</th></tr><tr><td>$7$</td><td>mua hàng</td><td>$70$</td></tr><tr><td>$14$</td><td>mua hàng</td><td>$530$</td></tr><tr><td>$17$</td><td>mua hàng</td><td>$130$</td></tr><tr><td>$26$</td><td>hoàn tiền</td><td>$230$</td></tr></table>
Ngoài ra chủ tài khoản có nộp một khoản thanh toán $1200$ nghìn đồng, làm dư nợ **giảm** ngay từ ngày hạch toán; ngày hạch toán của khoản này bị mất, chỉ biết nó là một ngày nguyên từ $7$ đến $16$ và không trùng ngày của giao dịch nào ở bảng trên.
Ngân hàng tính lãi theo **số dư bình quân ngày**: lấy tổng số dư nợ đầu mỗi ngày trong cả $28$ ngày rồi chia cho $28$, sau đó nhân lãi suất chu kì $2{,}34\%$. Sao kê ghi tiền lãi cuối kì là $51$ nghìn đồng (đã làm tròn đến hàng đơn vị).
Hỏi khoản thanh toán ấy được hạch toán vào ngày thứ mấy của chu kì?

Một quỹ duy tu cầu đường phải mua **cùng một giỏ duy tu** vào cuối mỗi năm trong $4$ năm tới. Theo giá hiện nay, giỏ duy tu ấy tốn $190$ triệu đồng; giá của nó tăng đúng theo lạm phát hằng năm. Số dư quỹ được cộng lãi theo một dãy khác:
<table><tr><th>Năm</th><th>$1$</th><th>$2$</th><th>$3$</th><th>$4$</th></tr><tr><td>Lạm phát $i_t$</td><td>$7{,}7\%$</td><td>$6\%$</td><td>$5{,}6\%$</td><td>$2{,}1\%$</td></tr><tr><td>Lãi quỹ $r_t$</td><td>$3{,}5\%$</td><td>$7{,}4\%$</td><td>$4{,}2\%$</td><td>$3{,}5\%$</td></tr></table>
Trong mỗi năm, thứ tự sự kiện là: **cộng lãi cả năm trước**, rồi mới trừ các khoản chi cuối năm. Riêng cuối năm $3$ quỹ còn phải trả thêm một khoản phí cố định $55$ triệu đồng (trả cùng lúc, ngay trước khi mua giỏ duy tu).
Cuối năm $4$, sau khi đã mua giỏ duy tu của năm ấy, quỹ phải còn một khoản dự phòng **tương đương $150$ triệu đồng theo giá hiện nay**.
Quỹ hiện có $870{,}61$ triệu đồng. Khoản nộp bổ sung chỉ được thực hiện theo **bội của $5$ triệu đồng**.
Hỏi quỹ phải nộp bổ sung ít nhất bao nhiêu triệu đồng để chắc chắn đạt mục tiêu?

Một hợp đồng lao động dài hạn kéo dài $6$ năm; lương của năm nào được trả **một lần vào đầu năm ấy**. Lương năm thứ nhất là $9000$ nghìn đồng ở cả hai phương án.
**Phương án bậc:** mỗi năm sau tăng thêm một khoản **cố định** $d$ so với năm liền trước, tức lương đầu năm $t$ là $P + \left(t - 1\right)d$. Ngoài ra đầu năm $3$ người lao động nhận thêm một khoản thưởng một lần $7500$ nghìn đồng, trả cùng lúc với lương.
**Phương án tỉ lệ:** mỗi năm sau nhân với $q = 1{,}094$, tức lương đầu năm $t$ là $Pq^{t-1}$; không có thưởng.
Lạm phát của từng khoảng thời gian:
<table><tr><th>Khoảng</th><th>đầu năm $1$ $\to$ đầu năm $2$</th><th>đầu năm $2$ $\to$ đầu năm $3$</th><th>đầu năm $3$ $\to$ đầu năm $4$</th><th>đầu năm $4$ $\to$ đầu năm $5$</th><th>đầu năm $5$ $\to$ đầu năm $6$</th></tr><tr><td>Lạm phát</td><td>$2{,}4\%$</td><td>$2{,}1\%$</td><td>$8{,}7\%$</td><td>$6{,}3\%$</td><td>$2{,}3\%$</td></tr></table>
Mọi khoản tiền được quy về **sức mua đầu năm $1$**. Hợp đồng chỉ cho phép $d$ là **bội của $100$ nghìn đồng**.
Hỏi mức tăng cố định $d$ nhỏ nhất là bao nhiêu nghìn đồng để tổng thu nhập **thực** của phương án bậc không thấp hơn phương án tỉ lệ?