Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba $y = f(x)$. Hai điểm cực trị của đồ thị được đánh dấu là $A(-2; 1)$ và $B(2; 33)$. Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = 1$ là

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{2} + 4}{x + 2}$ là giao của hai tiệm cận. Tổng hai toạ độ tâm bằng

Hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có hệ số $a = 2$. Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ lần lượt là $-1$ và $3$, đồng thời cắt trục tung tại điểm có tung độ $60$. Tính $a + b + c + d$.

Hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba $y = f(x)$. Hai điểm cực trị của đồ thị được đánh dấu là $A(-1; 0)$ và $B(1; 8)$. Gọi $y_{CĐ}$ là giá trị cực đại và $x_{CT}$ là hoành độ điểm cực tiểu của hàm số. Tính $y_{CĐ} + x_{CT}$.

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 2$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt.

Cho hàm số bậc ba có đồ thị $(C)$. Biết hàm số đồng biến trên khoảng $\left(2; 6\right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty; 2\right)$, $\left(6; +\infty\right)$, đồng thời $(C)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $12$. Hàm số nào dưới đây thỏa mãn các tính chất đó?

Xét các hình chữ nhật có diện tích bằng $3969\,\text{cm}^2$.

Một doanh nghiệp bán sản phẩm với giá $p$ thì lượng cầu là $q(p)=128-4p$.
Chi phí biến đổi là $6$ trên mỗi sản phẩm và chi phí cố định là $30$. Giá bán tối ưu là

Cho hàm số $y = f(x) = -2x^{3} + 6x^{2} - 1$ có đồ thị $(C)$. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại đúng hai điểm phân biệt.

Cho hàm số $y = f(x) = 3x^{3} - 9x^{2} + 4$ có đồ thị $(C)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt?

Lượng cầu theo giá là $q(p)=92-4p$; chi phí biến đổi là $7$ trên mỗi sản phẩm và chi phí cố định là $80$.
Tìm giá bán làm lợi nhuận lớn nhất.

Một xưởng sản xuất có chi phí cho $x$ sản phẩm là $C(x) = 2x^{2} + 15x + 17$ (triệu đồng).
Mỗi sản phẩm bán ra thu về $54$ triệu đồng.
Xưởng cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất? (làm tròn đến hàng phần mười).

Một đường đáp tuyến của bộ lọc được mô tả bởi hàm số $f\left(x\right) = mx + n + \dfrac{r}{x - c}$, trong đó $m \ne 0$, $r \ne 0$ và $c$ là một số nguyên.
Đường tiệm cận **xiên** đọc được chính xác là $y = 4x + 8$; còn $c$ chỉ biết thuộc tập $\left\{-1; 0; 3; 6; 8; 9\right\}$.
Quanh tiệm cận đứng, quan sát cho thấy nhánh bên trái đi lên $+\infty$, nhánh bên phải đi xuống $-\infty$.
Bộ ghi lưu bốn điểm đo, trong đó **đúng ba** điểm nằm trên đường cong và một điểm bị ghi sai tung độ:
<table><tr><th>Điểm</th><th>$M_{1}$</th><th>$M_{2}$</th><th>$M_{3}$</th><th>$M_{4}$</th></tr><tr><td>$x$</td><td>$-16$</td><td>$-8$</td><td>$-4$</td><td>$12$</td></tr><tr><td>$y$</td><td>$-53$</td><td>$-18$</td><td>$6$</td><td>$52$</td></tr></table>
Bốn báo cáo được nộp, mỗi báo cáo nêu $c$, $r$, điểm bị ghi sai và hai đường tiệm cận.
Báo cáo nào là báo cáo duy nhất đúng?

Một doanh nghiệp bán sản phẩm với giá $p$ thì lượng cầu là $q(p) = 172 - 4p$.
Chi phí biến đổi là $3$ trên mỗi sản phẩm, chi phí cố định là $90$.

Một mô hình mức tiêu hao dùng hàm số dạng $f\left(x\right) = ax + b + \dfrac{k}{x - c}$ với $a > 0$, $k > 0$; ba tham số $a$, $b$, $k$ **không** được công bố.
Bảng biến thiên của $f$ trên tập xác định:
<table><tr><th>$x$</th><th>$-\infty$</th><th>$-4$</th><th>$3$</th><th>$10$</th><th>$+\infty$</th></tr><tr><td>$f'\left(x\right)$</td><td></td><td>$0$</td><td>không xác định</td><td>$0$</td><td></td></tr><tr><td>$f\left(x\right)$</td><td></td><td>cực đại $-57$</td><td>$-\infty \;\|\; +\infty$</td><td>cực tiểu $?$</td><td></td></tr></table>
(dấu $f'$ là $+$ trên $\left(-\infty; -4\right)$, $-$ trên $\left(-4; 3\right)$ và trên $\left(3; 10\right)$, $+$ trên $\left(10; +\infty\right)$.)
Ngoài ra đồ thị đi qua điểm $P\left(4; 199\right)$.
Tìm tung độ cực tiểu còn trống trong bảng biến thiên (trả lời kèm dấu).

Một trạm nén khí có lưu lượng phụ thuộc áp lực đầu vào $x$ (đơn vị $\text{bar}$) theo công thức
$Y\left(x\right) = -3x^{3} + 12x^{2} + 20x + 33$ (đơn vị $\text{m}^3/\text{giờ}$),
còn chỉ số ứng suất là $B\left(x\right) = 3x^{2} - x + 75$.
Áp lực đầu vào chỉ đặt được trong $1 \le x \le 21$, và quy định an toàn đòi $B\left(x\right) \le 230$.
Ngoài ra bộ điều khiển chỉ đặt được áp lực đầu vào theo bước $0{,}25$ $\text{bar}$ tính từ $1$, tức $x = 1 + k \cdot 0{,}25$ với $k$ nguyên không âm.
Hiện nhà máy đang chạy ở mức $x_0 = 1$ $\text{bar}$.
Hỏi chuyển sang mức vận hành tốt nhất thì lưu lượng tăng bao nhiêu $\text{m}^3/\text{giờ}$ so với mức đang chạy?