Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a = (-3; 6; -6)$ và $\vec b = (-2; 4; m)$. Tìm số thực $m$ để hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương (trả lời kèm dấu).

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-1; 1; 4)$, $B(3; 8; 8)$, $C(0; -3; -1)$, $D(-3; -5; -1)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec u = (1; -3; 4)$, $\vec v = (-4; 4; -2)$ và $\vec a = (7; -5; 0)$ thỏa mãn $\vec a = x\vec u + y\vec v$. Cặp số $(x; y)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 0; 3)$, $B(3; -1; 6)$ và $C(6; -2; 1)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a = (-3; -6; 3)$ và $\vec b = (m; 2; 2)$. Tìm số thực $m$ để $\vec a \perp \vec b$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(2; 0; -6)$, $B(1; -1; -2)$, $C(-3; 1; 2)$, $D(2; -2; 1)$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(-3; 5; 6)$, $B(-1; -1; 3)$, $C(7; -1; -3)$, $D(-1; 0; 5)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec u = (-1; 0; 1)$, $\vec v = (3; 3; 2)$ và $\vec a = (-4; -3; -1)$ thỏa mãn $\vec a = x\vec u + y\vec v$. Tính $x + y$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(-4; -1; 1)$, $B(-1; -1; 1)$, $C(5; 5; -5)$, $D(1; -1; 0)$. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-3; 0; -2)$, $B(-9; 3; 0)$, $C(3; -2; -1)$, $D(7; -6; 0)$. Tọa độ của vectơ $-\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CD}$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a = (3; 6; 6)$ và $\vec b = (2; m; -2)$. Tìm số thực $m$ để $\vec a \perp \vec b$.

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-2; -3; -2)$, $B(-6; -10; -6)$, $C(3; 0; -3)$, $D(3; -1; -7)$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.

Một trạm kiểm lâm dùng một drone tuần tra để đuổi theo một xe địa hình trong hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài $\text{m}$, thời gian tính theo giây).
<table><tr><th>Dữ kiện</th><th>Giá trị</th></tr><tr><td>Vị trí đầu của drone tuần tra</td><td>$D\left(-27; -29; -12\right)$</td></tr><tr><td>Vị trí đầu của xe địa hình</td><td>$M\left(-9; -23; -9\right)$</td></tr><tr><td>Vận tốc của xe địa hình</td><td>$\vec v_m = \left(-9; 5; -6\right)$ ($\text{m/s}$)</td></tr><tr><td>Vận tốc gió</td><td>$\vec w = \left(2; 5; 3\right)$ ($\text{m/s}$)</td></tr></table>
Drone tuần tra chỉ chọn được **hướng** bay: vận tốc của nó so với không khí luôn có độ lớn $v_{kk} = 10$ $\text{m/s}$, và hướng ấy **không đổi** trong suốt chuyến. Vận tốc so với mặt đất bằng vận tốc so với không khí **cộng** vận tốc gió.
Xe địa hình đi thẳng đều với vận tốc $\vec v_m$. Hạn bay của drone tuần tra là $2$ giây.
Hỏi thời điểm gặp sớm nhất là bao nhiêu giây? Làm tròn đến hàng phần mười.

Một trạm quan trắc lắp một trục ăng-ten trong hệ toạ độ $Oxyz$. Hướng của trục ăng-ten là một vectơ đơn vị $\vec u$ và bị hai điều kiện lắp đặt:
$\vec u$ nằm trong mặt phẳng lắp đặt, tức $\vec u \cdot \vec n = 0$ với $\vec n = \left(0; 1; -1\right)$;
$\vec u$ phải hướng về nửa an toàn, tức $\vec u \cdot \vec h \ge 0$ với $\vec h = \left(-5; 2; 1\right)$.
Trục ăng-ten cần quan sát hai mục tiêu: cột phát $A$ theo hướng $\vec a = \left(3; -1; -2\right)$ và cột phát $B$ theo hướng $\vec b = \left(4; 3; -6\right)$.
Tiêu chí thiết kế: chọn $\vec u$ sao cho **góc nhìn xấu hơn** trong hai góc $\widehat{\left(\vec u, \vec a\right)}$, $\widehat{\left(\vec u, \vec b\right)}$ là **nhỏ nhất có thể**. Các góc lấy trong $\left[0^\circ; 180^\circ\right]$.
Hỏi góc nhìn xấu hơn nhỏ nhất bằng bao nhiêu độ? Làm tròn đến độ.