Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất

<table><tr><th>$X$</th><th>$0$</th><th>$1$</th><th>$2$</th><th>$3$</th></tr><tr><td>$P$</td><td>$0{,}24$</td><td>$0{,}14$</td><td>$0{,}32$</td><td>$0{,}3$</td></tr></table>

Gieo một đồng xu cân đối $3$ lần. Gọi $X$ là số lần xuất hiện mặt sấp.

Một dây chuyền sản xuất cho ra sản phẩm lỗi với xác suất $0{,}05$ ở mỗi sản phẩm. Cần xét bao nhiêu sản phẩm để kì vọng của số sản phẩm lỗi bằng $3$?

Một vé số cho lãi ròng $50$ nghìn đồng khi trúng với xác suất $0{,}5$, và lỗ $3$ nghìn đồng nếu không trúng. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $X \sim B\left(7; 0{,}4\right)$. Giá trị $P(X \geq 1)$ bằng

Một xạ thủ bắn 4 viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất mỗi viên trúng bia bằng $\dfrac{1}{3}$. Xác suất có ít nhất $2$ viên trúng bia bằng

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & -1 & 1 & 4 \\\hline P & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}5 \\\hline\end{array}$
Phương sai $V(X)$ bằng

Cho một hộp có 6 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi. Gọi $X$ là số viên bi đỏ lấy được. Kì vọng $E(X)$ bằng

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 2 & 5 & 9 \\\hline P & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}6 \\\hline\end{array}$
Đặt $Y = 2X + 5$. Kì vọng $E(Y)$ bằng

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 1 & 3 \\\hline P & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}7 \\\hline\end{array}$

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 0 & 2 & 5 \\\hline P & 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}6 \\\hline\end{array}$
Tính phương sai $V(X)$.

Cho một giỏ có 6 quả cam và 5 quả quýt. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Gọi $X$ là số quả cam lấy được. Tính kì vọng $E(X)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho $X \sim B\left(5; 0{,}6\right)$. Tính $P(X = 4)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một xạ thủ bắn 3 viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất mỗi viên trúng bia bằng $\dfrac{3}{4}$. Tính xác suất có ít nhất một viên trúng bia (làm tròn đến hàng phần trăm).

Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X & 3 & 4 & 8 \\\hline P & 0{,}3 & 0{,}1 & 0{,}6 \\\hline\end{array}$
Đặt $Y = 4X + 5$. Tính $E(Y)$.

Một nhà máy đóng chai nghiệm thu lô chai bằng cách lấy mẫu: kiểm $n$ chai lấy ngẫu nhiên và **chấp nhận** lô chai nếu số chai lỗi trong mẫu không vượt $c$. Coi các chai được kiểm là độc lập và cùng có xác suất lỗi $p$, nên số chai lỗi trong mẫu tuân theo phân phối nhị thức $B\left(n; p\right)$.
Hai chuẩn rủi ro phải đạt **đồng thời**:
$\left(1\right)$ nếu lô chai **tốt**, tức $p = 2\%$, thì xác suất chấp nhận phải **ít nhất** $86\%$;
$\left(2\right)$ nếu lô chai **xấu**, tức $p = 17\%$, thì xác suất chấp nhận phải **nhiều nhất** $13\%$.
Để cộng tổng tích luỹ nhanh, có thể dùng truy hồi $p_0 = \left(1 - p\right)^n$ và $p_{k+1} = p_k \cdot \dfrac{n - k}{k + 1} \cdot \dfrac{p}{1 - p}$, rồi lấy $A = p_0 + p_1 + \cdots + p_c$.
Bốn kế hoạch được chào:
<table><tr><th>Kế hoạch</th><th>$n$</th><th>$c$</th><th>Chi phí cố định (nghìn đồng)</th><th>Chi phí mỗi mẫu (nghìn đồng)</th></tr><tr><td>$A$</td><td>$22$</td><td>$1$</td><td>$90$</td><td>$8$</td></tr><tr><td>$B$</td><td>$24$</td><td>$1$</td><td>$80$</td><td>$2$</td></tr><tr><td>$C$</td><td>$9$</td><td>$1$</td><td>$70$</td><td>$7$</td></tr><tr><td>$D$</td><td>$19$</td><td>$0$</td><td>$40$</td><td>$4$</td></tr></table>
Trong các kế hoạch đạt **cả hai** chuẩn, chọn kế hoạch có **tổng chi phí** nhỏ nhất (tổng chi phí bằng chi phí cố định cộng chi phí mỗi mẫu nhân cỡ mẫu); nếu hoà thì chọn cỡ mẫu nhỏ hơn.
Nên chọn kế hoạch nào?

Một quỹ hỗ trợ mất mùa có hai khoản chi trả trong một kì. Khoản thứ nhất là hỗ trợ mất mùa chính vụ: bằng $14$ triệu đồng nếu xảy ra, bằng $0$ nếu không, và xác suất xảy ra là $p = 0{,}61$. Khoản thứ hai là hỗ trợ mất mùa phụ: bằng $12$ triệu đồng nếu xảy ra, bằng $0$ nếu không, xác suất $q = 0{,}74$.
Gọi $X$, $Y$ lần lượt là số tiền của hai khoản ấy. **Không** biết hai biến cố phụ thuộc nhau thế nào; chỉ biết xác suất **cả hai cùng xảy ra** là $r = P\left(X = 14, Y = 12\right)$, và một đợt kiểm toán chứng nhận $0{,}35 \le r \le 0{,}52$.
Quỹ thu một khoản phí $9{,}69$ triệu đồng cho mỗi kì.
Xét các khẳng định sau.

Một quầy bánh tươi nhập ổ bánh mỗi sáng. Nhu cầu trong ngày là một biến ngẫu nhiên $D$ (đơn vị ổ) có phân phối:
<table><tr><th>Nhu cầu $D$</th><th>$21$</th><th>$31$</th><th>$41$</th><th>$51$</th><th>$61$</th></tr><tr><td>$P\left(D = d\right)$</td><td>$\dfrac{5}{34}$</td><td>$\dfrac{3}{17}$</td><td>$\dfrac{7}{34}$</td><td>$\dfrac{4}{17}$</td><td>$\dfrac{4}{17}$</td></tr></table>
Mỗi ổ bán được thu $36$ nghìn đồng; giá nhập $24$ nghìn đồng mỗi ổ. Ổ bánh ế cuối ngày được thu hồi $4$ nghìn đồng mỗi ổ. Nếu thiếu hàng so với nhu cầu thì mỗi ổ thiếu bị phạt uy tín $5$ nghìn đồng.
Bốn mức đặt hàng được cân nhắc: $22$, $36$, $40$, $42$ ổ. Hiện tại quầy đang đặt $36$ ổ.
Quy định về rủi ro: **độ lệch chuẩn** của lợi nhuận không được vượt $201$ nghìn đồng.
Hỏi chuyển sang mức đặt hàng tốt nhất thì lợi nhuận kì vọng tăng bao nhiêu nghìn đồng so với mức hiện tại?